【題目】已知點是橢圓E: (a>b>0)上一點,離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓E交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)(0,).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)離心率得a,b,c三者關(guān)系,再代入點可得a2=4,b2=3.(2)因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,可得 ,再直線l的方程為y=kx+m(m≠0),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達(dá)定理代入關(guān)系式得,根據(jù)點到直線距離公式得高,根據(jù)弦長公式得底邊邊長,結(jié)合三角形面積公式得關(guān)于m函數(shù)關(guān)系式,最后利用基本不等式求最值,得取值范圍
試題解析:解:(1)由題意知,=,
所以=,a2=b2.
又+=1,解得a2=4,b2=3.
因此橢圓E的方程為
(2)由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m(m≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得,
(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0.
由題意知Δ=64k2m2-16(3+4k2)(m2-3)
=16(12k2-3m2+9)>0,
即4k2-m2+3>0.
又x1+x2=-,x1x2=
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
因為直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,
所以·==k2,
即(4k2-3)m2=0,
∵m≠0,∴k2=.
由于直線OP,OQ的斜率存在,且Δ>0,
得0<m2<6,且m2≠3.
設(shè)d為點O到直線l的距離,
則S△OPQ=d|PQ|
=× |x1-x2|
=|m|
又因為m2≠3,
所以S△OPQ=<×=.
所以△OPQ面積的取值范圍為(0,).
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【題目】設(shè)函數(shù)).
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)設(shè),若對任意的,存在使得成立,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ,an= (n≥2,n∈N).
(1)試判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列,并說明理由;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
(3)設(shè)cn=ansin ,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn . 求證:對任意的n∈N* , Tn< .
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【題目】已知點是橢圓E: (a>b>0)上一點,離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓E交于P,Q兩點,滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
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【題目】小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人與他相鄰,則不同坐法的總數(shù)為
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【題目】已知數(shù){an}滿a1=0,an+1=an+2n,那a2016的值是( )
A.2014×2015
B.2015×2016
C.2014×2016
D.2015×2015
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【題目】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進(jìn)一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,為前天兩只老鼠打洞之和,則_________________尺.
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【題目】設(shè)(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程(如圖),以下結(jié)論中正確的是( )
A.x和y正相關(guān)
B.x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率
C.x和y的相關(guān)系數(shù)在﹣1到0之間
D.當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同
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【題目】袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲,乙二人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球即終止,每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
(Ⅰ)求袋中原有白球的個數(shù):
(Ⅱ)求取球次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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