Question

3．若a、b分別是方程x+lgx=4，x+10^x=4的解，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a+b}{x}+2，x＜0}\\{2，x＞0}\end{array}}\right.$．則關(guān)于x的方程f（x）=2x-1的解的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得a=10^4-a，4-b=10^b，再作出函數(shù)y=4-x與y=10^x的圖象，從而可得a+b=4；從而解得．

解答 解：∵a、b分別是方程x+lgx=4，x+10^x=4的解，
∴a+lga=4，b+10^b=4，
∴a=10^4-a，4-b=10^b，
作函數(shù)y=4-x與y=10^x的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，有且僅有一個交點，
故a=4-b，
即a+b=4；
①當(dāng)x＜0時，方程f（x）=2x-1可化為$\frac{4}{x}$+2=2x-1，
解得，x=$\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；
②當(dāng)x＞0時，方程f（x）=2x-1可化為2=2x-1，
解得，x=$\frac{3}{2}$；
故關(guān)于x的方程f（x）=2x-1的解的個數(shù)是2，
故選B．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的互化與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．