【題目】表示不超過的最大整數(shù),例,,.已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求證:當(dāng)且時,總有,并指出當(dāng)為何值時取等號;
(3)解關(guān)于的不等式.
【答案】(1) ;(2)證明見解析,,,,時取等號;(3)
【解析】
(1)求出函數(shù)的解析式,根據(jù)分母不為0求定義域;(2),而,根據(jù)取整定義即可得不等式成立,當(dāng)為整數(shù)時等號成立,解出即可;(3)不等式即,在定義域內(nèi)分為,,,,幾種情形,求出的范圍即可.
,.
(1)∵即,
∴該函數(shù)定義域為;
(2)當(dāng)且時,
而,即.
當(dāng)為整數(shù),即,,,時取等號;
(3)解不等式,其中.
當(dāng)時,則且,故左邊右邊,不符合題意;
當(dāng)時,則且,故左邊,右邊且,左邊且右邊,不符合題意;
當(dāng)時,則,故右邊,∴,即,
解得:;
當(dāng)時,且,故左邊右邊,不符合題意;
當(dāng)時,,故左邊,而,顯然,
故左邊右邊,不符合題意.
綜上所述,符合題意的.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實數(shù)).
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(II)若在上的恒成立,求的范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時,若對任意的恒成立,求實數(shù)的值;
(3)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目,李明答對每道題目的概率都是0.6若每位面試者共有三次機會,一旦某次答對抽到的題目,則面試通過,否則就一直抽題到第3次為止,用Y表示答對題目,用N表示沒有答對題目,假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨立的,那么
(1)請列出樹狀圖并填寫樣本點,并寫出樣本空間;
(2)求李明第二次答題通過面試的概率;
(3)求李明最終通過面試的概率.
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【題目】已知集合.
(1)證明:若,則,;
(2)證明:若,則,并由此證明中的元素若滿足,則;
(3)設(shè),試求滿足的所有的可能值.
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【題目】手機中的“運動”具有這樣的功能,不僅可以看自己每天的運動步數(shù),還可以看到朋友圈里好友的步數(shù).小明的朋友圈里有大量好友參與了“運動”,他隨機選取了其中30名,其中男女各15名,記錄了他們某一天的走路步數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 0 | 2 | 4 | 7 | 2 |
女 | 1 | 3 | 7 | 3 | 1 |
(Ⅰ)以樣本估計總體,視樣本頻率為概率,在小明朋友圈里的男性好友中任意選取3名,其中走路步數(shù)低于7500步的有名,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步數(shù)超過7500步,此人將被“運動”評定為“積極型”,否則為“消極”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 消極型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【題目】在物理學(xué)中,聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱聲強.日常生活中能聽到的聲音其聲強范圍很大,最大和最小之間的比值可達倍.用聲強的物理學(xué)單位表示聲音強弱很不方便。當(dāng)人耳聽到兩個強度不同的聲音時,感覺的大小大致上與兩個聲強比值的常用對數(shù)成比例.所以引入聲強級來表示聲音的強弱.
某一處的聲強級,是指該處的聲強P與參考聲強的比值的常用對數(shù),單位為貝爾(B),其中參考聲強瓦/米2實際生活中一般用1貝爾的十分之一,即分貝()來作為聲強級的單位,其公式為聲強級.若某工廠環(huán)境內(nèi)有一臺機器(聲源)單獨運轉(zhuǎn)時,發(fā)出噪聲的聲強級為80分貝,那么兩臺相同的機器一同運轉(zhuǎn)時(聲強為原來的兩倍),發(fā)出噪聲的聲強級為分______貝(精確到0.1分).
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【題目】設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a的值,并求此時函數(shù)的最大值.
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【題目】今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案,“3”是指必考的語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科,“1”是指在物理和歷史中必選一科,“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科.為了解我校高一學(xué)生在物理和歷史中的選科意愿情況,進行了一次模擬選科. 已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學(xué)生,其中男生1000人,女生800人. 按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本,統(tǒng)計知其中有17個男生選物理,6個女生選歷史.
(I)根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù),填寫答題卷中的列聯(lián)表. 并根據(jù)統(tǒng)計量判斷能否有的把握認為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)?
(II)在樣本里選歷史的人中任選4人,記選出4人中男生有人,女生有人,求隨機變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.(的計算公式見下),臨界值表:
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