Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若對任意的恒成立，求實數(shù)的值；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，單調遞增區(qū)間為；時，單調遞減區(qū)間為，

單調遞增區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導函數(shù)數(shù)，利用，即可求函數(shù)的單調增區(qū)間，即可求函數(shù)的單調減區(qū)間；（2）若對任意的恒成立，對恒成立, 即可求實數(shù)的值；（3）要證原不等式成立，只需證：，即證：，結合（2）利用裂項相消法求和，根據(jù)放縮法可證．

試題解析：解：（1），∴時，，在上單調遞增：時，時，單調遞減，時，單調遞增．

（2）由（1），時，，∴，即，

記．，∴在上增，在上遞減，∴，故，得．

（3）時，，時，，

時，．

由（2）可知，即，則時，，故，

即原不等式成立．