Question

10．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACD=90°，AB=1，AD=2，ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P為DF的中點．AN⊥CF，垂足為N．
（1）求證：BF∥平面PAC；
（2）求證：AN⊥平面CDF；
（3）求三棱錐B-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行，連接BD交AC于O，連接PO，由三角形的中位線定理證得答案；
（2）證明AN⊥平面CDF，可證AN垂直于平面CDF內(nèi)二相交直線，先由面面垂直的性質(zhì)證明AF⊥CD，進一步證明CD⊥平面ACF，得到CD⊥AN，再由AN⊥CF得答案；
（3）把三棱錐B-CEF的體積轉(zhuǎn)化為C-BEF的體積求解．

解答 （1）證明：如圖，
連接BD交AC于O，連接PO，
∵PO為△BDF的中位線，∴PO∥EF，
∵PO?平面ACP，BF?平面ACP，
∴BF∥平面ACP；
（2）證明：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交線為AB，
AF⊥AB，
∴AF⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，
∴AF⊥CD，
又∵CD⊥AC，AC∩AF=A，且AC，AF?平面ACF，
∴CD⊥平面ACF，則CD⊥AN，
∵AN⊥CF，且CD，CF為平面CDF內(nèi)二相交直線，
∴AN⊥平面CDF；
（3）解：∵平面ABEF⊥平面ABCD，交線為AB，
又CA⊥AB，
∴CA⊥平面ABEF，
則CA=$\sqrt{B{C}^{2}-B{A}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{B-CEF}={V}_{C-BEF}=\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•CA$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．