Question

19．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知acosB-bsinB=c．
（1）若B=30°，求A．
（2）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinB不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由第一問得到cosA=-sinB，代入原式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答 解：（1）由已知條件及正弦定理，得sinAcosB-sin²B=sinC，
∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinAcosB-sin²B=sin（A+B），
即sinAcosB-sin²B=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=-sin²B，
∵sinB≠0，
∴cosA=-sinB=-sin30°=-$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=120°；       
（2）由（1），得cosA=-sinB，
∴sinA+sinB=sinA-cosA=$\sqrt{2}$sin（A-45°）．
又cosA=-sinB=cos（90°+B），
∴A=90°+B，
∵A+B＜180°，
∴90°＜A＜135°，
∴45°＜A-45°＜90°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A-45°）＜1，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（A-45°）＜$\sqrt{2}$．           
則sinA+sinB的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．