Question

函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，則2b+c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：待定系數(shù)法,導數(shù)的綜合應用

分析：由函數(shù)在給定區(qū)間上是減函數(shù)，則其導數(shù)在該區(qū)間上恒小于或等0，得出b，c的關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)就能求出2b+c的取值范圍．

解答： 解：f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，∴f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[-1，2]上恒成立，
∴

f′(-1)=3-2b+c≤0 f′(2)=12+4b+c≤0

⇒

-2b+c≤-3 4b+c≤-12

設2b+c=x（-2b+c）+y（4b+c），得2b+c=（-2x+4y）b+（x+y）c，由系數(shù)相等得：

-2x+4y=2 x+y=1

解得：x=

1

3

，y=

1

3

，
∴2b+c=

1

3

(-2b+c)+

2

3

(4b+c)∈（-∞，-9]．
故答案為：（-∞，-9]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．也可以運用線性規(guī)劃來解決此題．