Question

9．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F分別是棱AA₁、CC₁的中點，過直線EF的平面分別與棱BB₁，DD₁交于M、N兩點，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：
①平面MENF⊥平面BDD₁B₁；
②四邊形MENF的周長L=f （x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
③四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C₁-MENF的體積V=h（x），x∈[0，1]為常值函數(shù)．
其中真命題的編號為①④．

Answer 1

分析 ①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD′B′．②當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，EM的長度由大變小．當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)；③四邊形MENF的對角線EF是固定的，根據(jù)對稱性，可得四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]不是單調(diào)函數(shù)；④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

解答 解：①連結(jié)BD，B′D′，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正確．
②因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，EM的長度由大變�。�當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，1]時，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯誤．
③連結(jié)MN，因為EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，根據(jù)對稱性，可得四邊形MENF的面積S=g（x），x∈[0，1]不是單調(diào)函數(shù)，故不正確．
④連結(jié)C′E，C′M，C′N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C′EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C′EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高．