Question

18．求二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值：
（1）y=x²，t≤x≤t+1
（2）y=x²-2mx，-1≤x≤1．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)y=f（x），該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=0，從而要討論對(duì)稱軸和區(qū)間[t，t+1]的關(guān)系：分t+1≤0，t＜0＜t+1，和t≥0三種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)的情況和比較端點(diǎn)值的方法，求出f（x）的最值即可；
（2）該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=m，方法同（1），只不過(guò)這里對(duì)稱軸是變量，而上個(gè)區(qū)間是變量，過(guò)程應(yīng)一樣．

解答 解：（1）設(shè)y=f（x），①若t+1≤0，即t≤-1，則原函數(shù)在[t，t+1]上單調(diào)遞減；
∴x=t時(shí)，原函數(shù)取最大值t²，x=t+1時(shí)，取最小值（t+1）²；
②若t＜0＜t+1，即-1＜t＜0，f（t）=t²，f（t+1）=t²+2t+1；
f（t+1）-f（t）=2t+1；
∴1）$-1＜t≤-\frac{1}{2}$時(shí)，f（t+1）＜f（t）；
∴f（x）的最大值為f（t）=t²，最小值為f（0）=0；
③若t≥0，則f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最大值為f（t+1）=（t+1）²，最小值為f（t）=t²；
（2）設(shè)y=f（x），f（x）的對(duì)稱軸為x=m；
∴①m≤-1時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最大值為f（1）=1-2m，最小值為f（-1）=1+2m；
②-1＜m＜1時(shí)，f（x）的最小值為-m²，f（m）=f（-1）=1+2m，f（1）=1-2m；
∴f（-1）-f（1）=4m；
1）-1＜m≤0時(shí)，f（-1）≤f（1）；
∴f（x）的最大值為f（1）=1-2m；
2）0＜m＜1時(shí)f（-1）＞f（1）；
∴f（x）的最大值為f（-1）=1+2m；
③m≥1時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的最大值為f（-1）=1+2m，最小值為f（1）=1-2m．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)最值的定義，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)，以及根據(jù)單調(diào)性或取得頂點(diǎn)情況與比較端點(diǎn)值的方法求二次函數(shù)最值的方法．