Question

17．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（1）若f（x）≤m²+m+1對(duì)一切x≤2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若f（x）≥x，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)f（x）=x|x-2|=-（x-1）²+1的最大值為1，再由1≤m²+m+1，求得m的范圍．
（2）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的2個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．．

解答 解：（1）當(dāng)x≤2 時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x-2|=x（2-x）=2x-x²=-（x-1）²+1的最大值為1，
若f（x）≤m²+m+1對(duì)一切x≤2恒成立，則有1≤m²+m+1，求得 m≤-1，或 m≥0．
（2）若f（x）≥x，即 x|x-2|≥x，則 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x（x-2）≥x}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{x（2-x）≥x}\end{array}\right.$②．
解①求得x≥3，解②求得0≤x≤1．
綜上可得，x的范圍為{x|x≥3，或0≤x≤1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．