Question

9．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（3）若f（2x）＞f（x+3），試求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求f（0）即可，可對(duì)x、y都賦值為0即可求出f（0）．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進(jìn)行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明出f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，去掉“f”，列出關(guān)于x的不等式，解之即可求得x的取值范圍．

解答 （1）證明：顯然f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又∵函數(shù)對(duì)一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增． 
（3）解：由（2）知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∵f（2x）＞f（x+3），
∴2x＞x+3，
∴x＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其性質(zhì)，在研究其奇偶性時(shí)本題采取了連續(xù)賦值的技巧，對(duì)于定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是判斷出作差的正負(fù)，本題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造作差，使得其能判斷符號(hào)．屬于中檔題．