Question

1．已知點（a，b）與點（2，0）位于直線2x+3y-1=0的同側(cè)，且a＞0，b＞0，則z=$\frac{4b+1}{4a-1}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{7}{3}$，1）
• B． （$-∞，-\frac{7}{3}$）∪（1，+∞）
• C． （$-∞，-\frac{7}{3}$）∪（0，+∞）
• D． （$-\frac{7}{3}$，0）

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出2a+3b-1＞0，畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-1＞0}\\{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，再化簡z，
根據(jù)圖形，利用直線的斜率求出z的取值范圍．

解答 解：∵點（a，b）和（2，0）在直線2x+3y-1=0的同側(cè)，
∴（2a+3b-1）（4+0-1）＞0，
即2a+3b-1＞0；
又a＞0，且b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-1＞0}\\{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$；
且z=$\frac{4b+1}{4a-1}$=$\frac{b-（-\frac{1}{4}）}{a-\frac{1}{4}}$，．
畫出不等式組表示的平面區(qū)域，
設(shè)P（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{4}$），A（$\frac{1}{2}$，0），B（0，$\frac{1}{3}$），如圖所示；
計算k_PB=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{0-\frac{1}{4}}$=-$\frac{7}{3}$，
∴z＜-$\frac{7}{3}$，
又根據(jù)圖形得，z＞0，
∴z∈（-∞，-$\frac{7}{3}$）∪（0，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用問題，也考查了直線斜率的應(yīng)用問題，是綜合性題目．