Question

11．f（x+1）=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，且f（1）=$\frac{1}{4}$，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，若其前n項(xiàng)和為：-$\frac{35}{16}$，則n的值為（　　）

• A． 16
• B． 17
• C． 18
• D． 19

Answer 1

分析 先求得，${a}_{1}=-\frac{3}{16}$，移項(xiàng)，兩邊平方得：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），將：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），代入整理得：：a_n+1+a_n=-$\frac{1}{4}$，
數(shù)列{a_n}任意相鄰兩項(xiàng)相加為常數(shù)-$\frac{1}{4}$，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)不成立，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁+（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{35}{16}$，解得的值．

解答 解：f（1）=$\frac{1}{4}$，${a}_{1}=-\frac{3}{16}$，
f（x+1）=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
∴f（x+1）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，
兩邊平方得：[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]2=f（x）-f²（x），
f²（x+1）-f（x）+$\frac{1}{4}$=f（x）-f²（x），
∴a_n+1+$\frac{1}{4}$=-a_n，即：a_n+1+a_n=-$\frac{1}{4}$，
∴數(shù)列{a_n}任意相鄰兩項(xiàng)相加為常數(shù)-$\frac{1}{4}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分子不可能為奇數(shù)，
∴不成立，
∵n為奇數(shù)，a₁+a₂+a₃+…+a_n
=a₁+（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{n-1}{2}$=-$\frac{35}{16}$，
解得：n=17，
故答案為：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒等變換，及數(shù)列的前n項(xiàng)和，學(xué)生需要對函數(shù)式靈活變換，屬于中檔題．