Question

3．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）若b²=ac，試判斷△ABC的形狀；
（2）求y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用平面向量的數(shù)量積運算法則可得2bcosC=2a-c，結合余弦定理可得a²-ac=b²-c²，由余弦定理可得B=$\frac{π}{3}$．又b²=ac，利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，結合范圍A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求2A-$\frac{π}{6}$的范圍，解得A=C=B=$\frac{π}{3}$，即可得解．
（2）由（1）可得B=$\frac{π}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得y=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$），（cosA≠0），由范圍A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求2A-$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質可得sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），即可解得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2b，1），$\overrightarrow{n}$=（2a-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2bcosC=2a-c，
由余弦定理可得：cosC=$\frac{2a-c}{2b}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
整理可得：a²-ac=b²-c²，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{^{2}}{2^{2}}$=$\frac{1}{2}$，可得B=$\frac{π}{3}$．
又∵b²=ac，
∴可得：sin²B=$\frac{3}{4}$=sinAsinC=sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=sinA（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），解得：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{3}$，C=π-A-B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC為等邊三角形．
（2）∵由（1）可得：B=$\frac{π}{3}$．
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=1-$\frac{2（cosA+sinA）（cosA-sinA）}{\frac{cosA+sinA}{cosA}}$=1-2（cosA-sinA）cosA=1-2cos²A+2sinAcosA=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$），（cosA≠0），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），2A-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{13π}{12}$），
∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴y=1-$\frac{2cos2A}{1+tanA}$=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的圖象和性質，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．