Question

19．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為p²+2psin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=r²（r＞0）．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若圓C上的點到直線l的最大距離為3，求r值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據(jù)互化公式消去相應(yīng)的參數(shù)即可；
（Ⅱ）結(jié)合點到直線的距離公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)，得
x+y-$\sqrt{2}$=0，
直線l的直角坐標方程為x+y-$\sqrt{2}$=0，
∵圓C的極坐標方程為p²+2psin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=r²（r＞0）．
∴（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²（r＞0）．
∴圓C的直角坐標方程為（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²（r＞0）．
（Ⅱ）∵圓心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），半徑為r，…（5分）
圓心C到直線x+y-$\sqrt{2}$=0的距離為d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，
又∵圓C上的點到直線l的最大距離為3，即d+r=3，
∴r=3-2=1．

點評 本題重點考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標方程和直角坐標方程的互化等知識．