Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點在直線l：x-1=0上，且離心率e為$\frac{1}{2}$．
（1）求該橢圓的方程；
（2）若P與Q是該橢圓上不同的兩點，且弦PQ的中點T在直線l上，試證：x軸上存在點R，對于所有滿足條件的P與Q，恒有|RP|=|RQ|．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計算公式e=$\frac{c}{a}$及a²=b²+c²即可得出；
（2）設(shè)T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（r，0），則$\overrightarrow{RT}$=（1-r，y₀），$\overrightarrow{PQ}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），只要證明$\overrightarrow{RT}$$•\overrightarrow{PQ}$=（1-r）（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁）=0即可，利用“點差法”中點坐標公式即可證明．

解答 （1）解：由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a═2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：設(shè)T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（r，0），
則$\overrightarrow{RT}$=（1-r，y₀），$\overrightarrow{PQ}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
∴$\overrightarrow{RT}$$•\overrightarrow{PQ}$=（1-r）（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁），
由點P，Q在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₂²=1，
兩式相減得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
即有$\frac{3}{4}$（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁）=0，
∴要使恒有|RP|=|RQ|，即為PQ⊥RT，
即有$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，
則有1-r=$\frac{3}{4}$，
解得r=$\frac{1}{4}$．
則有x軸上存在點R（$\frac{1}{4}$，0），對于所有滿足條件的P與Q，恒有|RP|=|RQ|．

點評 本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本能力，考查了推理能力和計算能力．