Question

9．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)在（a，b）上的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，則函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖象可能是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 對(duì)于A、B、C，由圖象得出在a處與b處切線的斜率不等，即可排除答案；
對(duì)于D，由圖象得出是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是直線x=$\frac{a+b}{2}$與原函數(shù)的交點(diǎn)，由此判斷命題成立．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，
∴導(dǎo)函數(shù)的圖象無增減性，或在直線x=$\frac{a+b}{2}$的兩側(cè)單調(diào)性相反；
對(duì)于A，由圖知，在a處切線斜率最小，在b處切線斜率最大，∴導(dǎo)函數(shù)圖象不關(guān)于直線 x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，A不成立；
對(duì)于B，由圖知，在a處切線斜率最大，在b處切線斜率最小，∴導(dǎo)函數(shù)圖象不關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，B不成立；
對(duì)于C，由圖知，在a、b處切線的斜率大小相等，符號(hào)相反，導(dǎo)函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，C不成立；
對(duì)于D，由圖知，原函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱中心在直線x=$\frac{a+b}{2}$與原函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，
∴導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=$\frac{a+b}{2}$對(duì)稱，D成立．
故選 D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)增減性的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．