Question

已知函數(shù)，其中.

(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出的值或取值范圍；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)若a<0，且函數(shù)y＝f(x)的極小值為，求函數(shù)的極大值。

 

Answer 1

(1)存在a＝；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)遞增滿(mǎn)足的條件；（2）先求出函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)a<0確定極大值與極小值點(diǎn)，由函數(shù)的極小值求得，再求出極大值.

(1)∵，

∴．

由可得≥0.即在x∈R時(shí)恒成立．

∴Δ＝(a＋2)2－4(－2a2＋4a)≤0，即(3a－2)2≤0，即a＝，此時(shí)，f′(x)＝(x＋)2ex≥0，函數(shù)y＝f(x)在R上單調(diào)遞增．(2)由f′(x)＝0可得ex[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]＝0，解之得x1＝－2a，x2＝a－2.

當(dāng)a<0時(shí)，－2a>a－2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 

由條件可知，f(－2a)＝－e，即3a·e－2a＝－e，可得a＝－.

此時(shí)，f(x)＝(x2－x－2)ex，極大值為f(a－2)＝f(－)＝.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.