Question

2．某5名學生的總成績與數學成績如表：

學生	A	B	C	D	E
總成績（x）	482	383	421	364	362
數學成績（y）	78	65	71	64	61

（1）畫出散點圖；
（2）求數學成績對總成績的回歸方程；
（3）如果一個學生的總成績?yōu)?50分，試預測這個學生的數學成績（參考數據：482²+383²+421²+364²+362²=819 794，482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137 760）．
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由表中數據畫出散點圖；
（2）分別求得總成績（x）和數學成績（y）的平均數，由最小二乘法求得系數$\widehat$，由$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$求得$\widehat{a}$即可求得線性回歸方程；
（3）將x=450代入線性回歸方程，求得$\widehat{y}$即可預測這個學生的數學成績．

解答 解：（1）散點圖如圖所示：

（2）設回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，
$\overline{x}$=$\frac{482+383+421+364+362}{5}$=$\frac{2012}{5}$，
$\overline{y}$=$\frac{78+65+71+64+61}{5}$=$\frac{339}{5}$，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{137760-5×\frac{339}{5}×\frac{2012}{5}}{819794-5×（\frac{2012}{5}）^{2}}$≈0.132，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$≈$\frac{339}{5}$-0.132×$\frac{2012}{5}$=14.683 2，
所以回歸方程為$\widehat{y}$=14.683 2+0.132 x．
（3）當x=450時，$\widehat{y}$=14.683 2+0.132×450=74.083 2≈74，
∴數學成績大約為74分．

點評 本題考查利用最小二乘法求線性回歸方程，考查線性回歸方程的簡單應用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．