Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}+1，x＞0}\\{-x-\frac{4}{x}+1，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]和[2，+∞）上的增減性．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶性的定義可得結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)；

解答 解：（1）若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$+1=f（x），
若x＞0，則-x＜0，則f（-x）=x+$\frac{4}{x}$+1=f（x），
綜上f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時，$f（x）=x+\frac{4}{x}+1$
設(shè)0＜x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$
∴當(dāng)0＜x₁＜x₂≤2時，f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
當(dāng)2≤x₁＜x₂時，f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．