Question

5．節(jié)能環(huán)保日益受到人們的重視，水污染治理也已成為“十三五”規(guī)劃的重要議題．某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，AB=30km，BC=15km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO、BO、PO．設(shè)∠BAO=x（弧度），排污管道的總長(zhǎng)度為ykm．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）試確定O點(diǎn)的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長(zhǎng)度最短，并求總長(zhǎng)度的最短公里數(shù)（精確到0.01km）．

Answer 1

分析 （1）直接由已知條件求出AO、BO、OP的長(zhǎng)度，即可得到所求函數(shù)關(guān)系式；
（2）記$p=\frac{2-sinx}{cosx}$，則sinx+pcosx=2，求出p的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知得$y=2×\frac{15}{cosx}+15-15tanx$，
即$y=15+15×\frac{2-sinx}{cosx}$（其中$0≤x≤\frac{π}{4}$）-----------------------------------------------（6分）
（2）記$p=\frac{2-sinx}{cosx}$，則sinx+pcosx=2，則有$|{\frac{2}{{\sqrt{1+{p^2}}}}}|≤1$，
解得$p≥\sqrt{3}$或$p≤-\sqrt{3}$------------------------------------------（10分）
由于y＞0，所以，當(dāng)$x=\frac{π}{6}$，即點(diǎn)O在CD中垂線上離點(diǎn)P距離為$（{15-\frac{{15\sqrt{3}}}{3}}）$km處，y取得最小值$15+15\sqrt{3}≈40.98$（km）．-------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解題．