Question

17．已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=4對稱，當x∈[0，4]時，f（x）可導(dǎo)且滿足f′（x）＞2f（x），則有（　　）

• A． e²f（-15）＜f（-6），e²f（-11）＜f（-20）
• B． e²f（-15）＞f（-6），e²f（-11）＞f（-20）
• C． e²f（-15）＜f（-6），e²f（-11）＞f（-20）
• D． e²f（-15）＞f（-6），e²f（-11）＜f（-20）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性進行比較即可．

解答 解：設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，則h′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{2x}-f（x）{e}^{2x}•2}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{x}}$．
∵當x∈[0，4]時，f（x）可導(dǎo)且滿足f′（x）＞2f（x），
∴此時h′（x）＞0，即函數(shù)h（x）此時單調(diào)遞增．
∵定義域為R的偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=4對稱，
∴f（4+x）=f（4-x）=f（x-4），
即f（x+8）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為8的周期函數(shù)，
則f（-15）=f（-16+1）=f（1），f（-6）=f（2），
f（-11）=f（-8-3）=f（-3）=f（3），f（-20）=f（-16-4）=f（-4）=f（4），
由h（2）＞h（1），即$\frac{f（2）}{{e}^{4}}＞\frac{f（1）}{{e}^{2}}$，則f（2）＞e²f（1），即f（-6）＞e²f（-15），
由h（4）＞h（3），即$\frac{f（4）}{{e}^{8}}$＞$\frac{f（3）}{{e}^{6}}$，則f（4）＞e²f（3），即f（-20）＞e²f（-11），
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的性質(zhì)判斷函數(shù)的周期性，利用構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．