Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{x+1}$，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，求AP的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，$\frac{2x}{x+1}$）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間距離公式，可得AP的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得答案．

解答 解：設(shè)P（x，$\frac{2x}{x+1}$）是函數(shù)y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點(diǎn)，
則PA=$\sqrt{（x-1）^{2}+（\frac{2x}{x+1}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{（{x}^{2}+1）^{2}}{（x+1）^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-1}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-1}$，則g′（x）=$\frac{{-{x}^{2}-2x+1}^{\;}}{{（x+1）}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得：x=-1-$\sqrt{2}$，或x=-1+$\sqrt{2}$（舍去），
當(dāng)x＜-1-$\sqrt{2}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)-1-$\sqrt{2}$＜x＜-1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1-$\sqrt{2}$，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）時(shí)，
AP取最小值2$\sqrt{2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，難度中檔．