如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)=1.=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
則k1,k2.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-y2=4上,所以x-y=4.
因此k1·k2·=1,即k1·k2=1.
(3)存在λ=,使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.

解析試題分析:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知:
2a+2c=4(+1),所以a=2,c=2.
又a2=b2+c2,因此b=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(m>0),因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),所以m=2,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則k1,k2.
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-y2=4上,所以x-y=4.
因此k1·k2·=1,即k1·k2=1.
(3)由于PF1的方程為y=k1(x+2),將其代入橢圓方程得(2k+1)x2-8kx+8k-8=0,
顯然2k+1≠0,顯然Δ>0.由韋達(dá)定理得x1+x2,x1x2.
所以|AB|=
.
同理可得|CD|=.
,
又k1·k2=1,
所以.
故|AB|+|CD|=|AB|·|CD|.
因此存在λ=,使|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
考點(diǎn):本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):對(duì)于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,往往要聯(lián)立方程,同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解;而對(duì)于最值問(wèn)題,則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示,然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

若雙曲線的離心率等于,直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)若,點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn),且,求

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為2,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為,其中A(0,-b),B(a,0).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q,點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn).若點(diǎn)M在直線x=-2上的射影為N,滿足·=0,且||=10,求直線l的方程.

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直線與橢圓交于,兩點(diǎn),已知
,,若且橢圓的離心率,又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)為半焦距),求直線的斜率的值;

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直線與橢圓交于兩點(diǎn),已知
,,若且橢圓的離心率,又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)為半焦距),求直線的斜率的值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,、分別為兩個(gè)切點(diǎn),設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

若橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)、組成一個(gè)正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè),分別是橢圓E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與E相交于A、B兩點(diǎn),且,成等差數(shù)列。
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若直線的斜率為1,求b的值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角互補(bǔ),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

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