若橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)、組成一個(gè)正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.
(1) (2)且
解析試題分析:(1)設(shè)橢圓的方程為
由所以,橢圓的方程為 ……1…5 分
(2)、,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),的中點(diǎn)為,直線的斜率;
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為,直線的方程為:,……2
由12聯(lián)立消去并整理得:
設(shè),則 ……10分
當(dāng)時(shí),的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率; ……11 分
當(dāng)時(shí),,
且 ……13 分
考點(diǎn):橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):直線與橢圓相交的問題常聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理求解,在求解過程中要注意分直線斜率是否存在兩種情況分別討論,再應(yīng)用均值不等式求得斜率最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知兩定點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,由點(diǎn)向軸作垂線段,垂足為,點(diǎn)滿足,點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)作直線與曲線交于,兩點(diǎn),點(diǎn)滿足(為原點(diǎn)),求四邊形面積的最大值,并求此時(shí)的直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:,左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn),為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn),是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,離心率為 , 在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn),且
(1)若過三點(diǎn)的圓 恰好與直線相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
圓C的圓心在y軸上,且與兩直線l1:;l2:均相切.
(I)求圓C的方程;
(II)過拋物線上一點(diǎn)M,作圓C的一條切線ME,切點(diǎn)為E,且的最小值為4,求此拋物線準(zhǔn)線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓,它的離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別是.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點(diǎn);并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立?(點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn))若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,若直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且。(14分)
(1)求橢圓的方程;
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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