Question

2．已知圓O的方程為x²+y²=9，圓內一點C（2，1），過C且不過圓心的動直線l交圓O于P、Q兩點，圓心O到直線l的距離為d．
（1）用d表示△OPQ的面積S，并寫出函數(shù)S（d）定義域；
（2）求S的最大值并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出OC的長度，得到d的范圍，再由垂徑定理把弦長用d表示，可得△OPQ的面積S的表達式；
（2）利用基本不等式求得S的最大值，得到相應的d值，再由點到直線距離公式求得直線的斜率得答案．

解答 解：（1）如圖，
∵圓內一點C（2，1），∴|OC|=$\sqrt{5}$，
則圓心O到直線l的距離為d∈（0，$\sqrt{5}$]．
∵圓O的半徑為3，∴|PQ|=2$\sqrt{9-t0rmrx9^{2}}$，
則S（d）=$\frac{1}{2}|PQ|•d=\frac{1}{2}×2\sqrt{9-kfkaxya^{2}}•d$=$\sqrt{（9-4cb8szt^{2}）•uorgwgc^{2}}$．
函數(shù)定義域為（0，$\sqrt{5}$]；
（2）由S（d）=$\sqrt{（9-x52lyda^{2}）•qlzwr81^{2}}$$≤\sqrt{（\frac{9-4aeh5th^{2}+uxlybeh^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$．
得S的最大值為$\frac{9}{2}$，當且僅當9-d²=d²，即$m9wrf0p^{2}=\frac{9}{2}$，d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$∈（0，$\sqrt{5}$]．
此時直線l的斜率存在，設為k，則直線方程為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由d=$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得k=-1或k=-7．
∴直線l的方程為：x+y-3=0或7x+y-15=0．

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用，考查點到直線距離公式的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．