Question

8．已知函數(shù)f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}cos2x-1$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式，和差角公式，將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)的形式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）不等式|f（x）-m|＜2在$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$時(shí)恒成立，則m＞f_max（x）-2且m＜f_min（x）+2，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}cos2x-1$
=2[1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）]-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1…（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：
kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z…（6分）
（2）∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
即3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5
∴f_max（x）=5，f_min（x）=3 …（9分）
∵|f（x）-m|＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，
∴m＞f_max（x）-2且m＜f_min（x）+2
∴3＜m＜5
∴m的取值范圍是（3，5）…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，二倍角公式，和差角公式，是三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．