Question

3．方程x|x|-y|y|=-1的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，對于函數(shù)y=f（x），有如下結(jié)論：
①f（x）在R上單調(diào)遞減；
②函數(shù)F（x）=f（x）-x-$\sqrt{2}$存在3個零點；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R；
④函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)y=g（x）的圖象就是方程x|x|-y|y|=1確定的曲線．
其中所有正確的命題序號是②③④．

Answer 1

分析 分四類情況進行討論，然后畫出相對應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給的命題的真假性．

解答 解：（1）x≥0，y≥0，x²-y²=-1即y²-x²=1，
此為a=b=1，實軸為y軸的雙曲線在第1象限的部分，增函數(shù)；
（2）x≥0，y＜0，x²+y²=-1不存在；
（3）x＜0，y≥0，-x²-y²=-1，x²+y²=1，
此為圓心在原點，半徑為1的圓在第2象限的部分，增函數(shù)；
（4）x＜0，y＜0，-x²+y²=-1，x²-y²=1，
此為a=b=1，實軸為x軸的雙曲線在第3象限的部分，增函數(shù)；
根據(jù)上述情況作出相應(yīng)的圖象，如圖所示，

故：①f（x）在R上單調(diào)遞減，錯誤；
②函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x+$\sqrt{2}$在第二象限相切，
在第一，三象限延長后各有一個交點，
即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x+$\sqrt{2}$共有三個交點，
即函數(shù)F（x）=f（x）-x-$\sqrt{2}$存在3個零點，正確；
③函數(shù)y=f（x）的值域是R，正確；
④函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則函數(shù)y=g（x）的圖象就是方程-x|-x|+y|-y|=-1，即方程x|x|-y|y|=1確定的曲線，正確．
即正確的命題序號是：②③④，
故答案為：②③④

點評 本題主要考查了含有絕對值的函數(shù)的圖象，以及有關(guān)圓錐曲線的問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題