Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）計算a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）若存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，求正實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由遞推公式求出a₂，a₃的值，由作差法得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$，再根據(jù)累乘法求出數(shù)列的通項公式，
（Ⅱ）由題意存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，轉(zhuǎn)化為存在n∈N^*，且n≥2，使λ≤$\frac{n-1}{2n（n+1）}$成立，設(shè)b_n=$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，n≥2，判斷出數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大值，即可求出λ的范圍，問題得以解決．

解答 解：（Ⅰ）由2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n，
當(dāng)n=2時，得到2a₁=3a₂，即a₂=2，
當(dāng)n=3時，得到2a₁+3a₂=4a₃，即a₃=3，
∵2a₁+3a₂+…+na_n-1=（n+1）a_n，①，
∴2a₁+3a₂+…+na_n-1+（n+1）a_n=（n+2）a_n+1，②，
②-①，得
（n+1）a_n=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-2×（$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{n}{n+1}$）=$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
∴a_n=3×$\frac{{2}^{n-1}}{n+1}$，
當(dāng)n=1時，a₁不成立，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{3×\frac{{2}^{n-1}}{n+1}，n≥2}\end{array}\right.$
（Ⅱ）存在n∈N^*，且n≥2，使得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$成立，
∴$\frac{3×\frac{{2}^{n-1}}{n+1}}{{2}^{n}•λ}$≥$\frac{3n}{n-1}$，
即λ≤$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，
設(shè)b_n=$\frac{n-1}{2n（n+1）}$，n≥2，
則b_n+1-b_n=$\frac{n}{2（n+1）（n+2）}$-$\frac{n-1}{2n（n+1）}$=$\frac{2-n}{2n（n+1）（n+2）}$，
當(dāng)n≥2時，數(shù)列{b_n}為遞減數(shù)列，
故當(dāng)n=2時，b_n有最大值，即為b₂=$\frac{1}{12}$，
∴λ≤$\frac{1}{12}$，
故正實數(shù)λ的最大值為$\frac{1}{12}$

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的通項公式的求法，以及存在性的問題，考查了作差法累乘法，屬于中檔題．