Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-m-ln2x
（Ⅰ）若m=1，求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）設(shè)m≤2，證明：f（x）+ln2＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），f″（x），得到f′（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）的極小值即可；
（Ⅱ）x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-m≥e^x-2≥x-1恒成立，取函數(shù)h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），可得f（x）=e^x-m-ln（2x）≥e^x-2-ln（2x）≥x-1-ln（2x）≥-ln2，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
m=1時(shí)：f（x）=e^x-1-ln（2x），
∴f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，f″（x）=e^x-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故f′（x）在（0，+∞）遞增，而f′（1）=0，
∴x=1是f′（x）=0的唯一零點(diǎn)，
因此，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴函數(shù)f（x） 在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的極小值是f（1）=1-ln2；
（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-m≥e^x-2，
又e^x≥x+1，∴e^x-m≥e^x-2≥x-1，
取函數(shù)h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
得函數(shù)h（x）在x=1時(shí)取唯一的極小值即最小值為h（1）=-ln2，
∴f（x）=e^x-m-ln（2x）≥e^x-2-ln（2x）≥x-1-ln（2x）≥-ln2，
而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故f（x）+ln2＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．