Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且與y軸正半軸的交點為（0，1）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與C交于A、B兩點，AB=2，求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1；從而解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；從而寫出橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，從而可得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），從而可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}+16-16^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=2，從而化簡方程可得4b²=$\frac{12{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}$；代入面積公式S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，從而求最值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵與y軸正半軸的交點為（0，1），
∴b=1；
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+b，
與橢圓方程聯(lián)立消元化簡可得，
（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$；
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}+16-16^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=2，
∴2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+4{k}^{2}-^{2}}$=（1+4k²）²，
∴12k²+3=4b²（1+k²），
∴4b²=$\frac{12{k}^{2}+3}{1+{k}^{2}}$；
S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{4^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，
∵$\frac{12{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{12}{1+{k}^{2}}$-$\frac{9}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=-9（$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-$\frac{2}{3}$）²+4，
∴當$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即k²=$\frac{3}{2}$時，有最大值4；
∴S_max=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{4}$=1．

點評 本題考查了橢圓的方程的求法與圓錐曲線與直線的位置關系的應用，同時考查了學生的化簡運算能力，屬于中檔題．