Question

【題目】已知：以點(diǎn) 為圓心的圓與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)、，其中為原點(diǎn)．

（）求證： 的面積為定值．

（）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)、，若，求：圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）因?yàn)閳AC過原點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出出O到C的距離即為圓的半徑，然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，令x=0，解出相應(yīng)y的值，令y=0解出相應(yīng)x的值，進(jìn)而表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式表示出三角形AOB的面積，約分后得到面積為定值，得證；

（2）根據(jù)圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等得到|CM|=|CN|，又因?yàn)?/span>|OM|=|ON|，得到OC垂直平分線段MN，由已知直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線OC的斜率，然后利用C的坐標(biāo)表示出斜率，兩者相等得到關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，然后把求出的t的值代入點(diǎn)C的坐標(biāo)中確定出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷圓心到已知直線的距離小于半徑即已知直線與圓相交，把不符合題意的t舍去，得到滿足題意的t的值，進(jìn)而得到圓C的方程；

試題解析：（1）∵圓C過原點(diǎn)O，∴OC2=t2+，

則圓C的方程為（x-t）2+（y-）2= t2+，令x=0，，得y1=0，；

令y=0得x1=0，x2=2t，

即A（2t，0），B（0，），

=4．

即△OAB的面積為定值；

（2）∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|，∴OC垂直平分線段MN．

∵KMN=-2，∴KOC=

，解得t=2或t=-2．

當(dāng)t=2時，圓心C的坐標(biāo)為（2，1）半徑OC=，

此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=，

即圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn)．

當(dāng)t=-2時，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1）半徑OC=

此時圓心到直線y=-2x+4的距離d=，即圓C與直線y=-2x+4不相交，<BR>∴t=-2不合題意，舍去．

∴圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5．