Question

【題目】已知動直線l與橢圓C：交于，兩個不同的點，O為坐標原點．

若直線l過點，且原點到直線l的距離為，求直線l的方程；

若的面積，求證：和均為定值；

橢圓C上是否存在三點D、E、G，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（3）見解析

【解析】

先設直線方程為，根據原點到直線l的距離為，列出方程即可求出，進而可得出結果；

分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理等即可證明結論成立；

先假設存在，，，使得，結合(2)中的結果推出矛盾即可.

設直線方程為，原點到直線l的距離為，，

解得時，此時直線方程為，

當直線l的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，

所以，，在橢圓上，

又，

由得，此時，；

當直線l的斜率存在時，是直線l的方程為，將其代入得

，

即，又，，

，

點O到直線l的距離為，

又，即

整理得，

此時，

；

綜上所述，結論成立．

橢圓C上不存在三點D，E，G，使得，

證明：假設存在，，，使得

由得，，；，，

解得；．

因此u，，只能從中選取，

v，，只能從中選取，

因此點D，E，G，只能在這四點中選取三個不同點，

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，與矛盾．

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G．