【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(﹣4,0),D(0,4)設(shè)△AOB的外接圓圓心為E.
(1)若⊙E與直線CD相切,求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)點P在圓E上,使△PCD的面積等于12的點P有且只有三個,試問這樣的⊙E是否存在,若存在,求出⊙E的標準方程;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:∵C(﹣4,0)、D(0,4),

∴直線CD方程為 .化簡得x﹣y+4=0.

又∵△AOB的外接圓圓心為E( ),半徑r=

∴由⊙E與直線CD相切,得圓心E到直線CD的距離等于半徑,

= ,即2 = ,解之得a=4


(2)解:C(﹣4,0)、D(0,4),可得|CD|= =4 ,

設(shè)P到直線CD的距離為d,可得△PCD的面積S= |CD|×d=12,

,解之得d=3

因此,只須與CD平行且與CD距離為3 的兩條直線中的一條與⊙E相切,

另一條與⊙E相交.

∵由(1)的計算,可知圓心E到直線CD距離為2 ,

∴圓E的半徑為2 +3 =5 ,即r= =5 ,解得a=10.

即存在a=10,滿足使△PCD的面積等于12的點P有且只有三個,⊙E的標準方程是(x﹣5)2+(y﹣5)2=50.


【解析】(1)根據(jù)△AOB為等腰直角三角形,算出它的圓心為E( ),半徑r= .求出直線CD的方程,根據(jù)⊙E與CD相切,利用點到直線的距離公式建立關(guān)于a的等式,解之即可得出實數(shù)a的值;(2)由|CD|=4 與△PCD的面積等于12,算出P到直線CD的距離為d=3 .若滿足條件的點P有3個,說明與CD平行且與CD距離為3 的兩直線中的一條與⊙E相切且另一條與⊙E相交.由此算出⊙E的半徑,進而算出實數(shù)a的值,得到滿足條件的⊙E的標準方程.

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