Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．

（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角；
（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD．

因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD．

又CD面PCD，

∴面PAD⊥面PCD．

（2）解：過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角．

連接AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB= ，

∴cos∠PBE= ．

∴AC與PB所成的角為arccos ．

（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．

在等腰三角形AMC中，ANMC= ，

∴AN= ．

∴AB=2，

∴cos∠ANB= =﹣

故面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值為﹣ ．

【解析】（1）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；（2）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；（3）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．