Question

已知點M（3，-2）及圓C：x²+y²-2x-4y+1=0．
（Ⅰ）求過點M的圓C的切線方程；
（Ⅱ）過點M作直線l圓C交于A，B兩點，求弦AB中點N的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）化圓的一般式方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后分切線的斜率存在和不存在求解，當(dāng)斜率不存在時直接寫出切線方程，斜率存在時，設(shè)出切線方程的點斜式，化為一般式，由圓心到切線的距離等于半徑求斜率，則曲線方程可求；
（Ⅱ）直接利用點差法求得弦AB中點N的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）由圓C：x²+y²-2x-4y+1=0，得（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圓C的圓心坐標(biāo)C（1，2），半徑為2，
當(dāng)過點M的圓C的切線的斜率不存在時，圓的切線方程為x=3；
當(dāng)過點M的圓C的切線的斜率存在時，
設(shè)過點M的圓C的切線方程為y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0．
由題意得：

|k-2-3k-2|

k2+1

=2，解得k=-

3

4

．
∴過點M的圓C的切線方程為-

3

4

x-y-3×(-

3

4

)-2=0，即3x+4y-1=0．
綜上，過點M的圓C的切線方程為x=3或3x+4y-1=0；
（Ⅱ）設(shè)N（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
(x1-1)2+(y1-2)2=4  ①，
(x2-1)2+(y2-2)2=4  ②，
兩式作差得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2-2

y1+y2-4

=

x-1

y-2

．
∴

y+4

x-3

=

x-1

y-2

．
整理得：x²+y²-4x-2y+11=0．

點評：本題考查了圓的切線方程的求法，考查了點差法求與弦中點有關(guān)的曲線的軌跡方程，是中檔題．