【題目】如圖,四棱錐中,底面為菱形,直線平面,,,是上的一點(diǎn),.
(1)證明:直線平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)設(shè),連接,由平面,可得,證明和相似,可得,從而可知平面;
(2)由,可知為正方形,以為原點(diǎn),,,所在方向分別為,,軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得平面和的法向量,進(jìn)而可求得二面角的余弦值.
(1)設(shè),連接,∵平面,
∴,又,∴面,∴,
在直角中,,,故,∴,
則,∴和相似,故,
又,∴平面;
(2)由,可知為正方形,,
又平面,故以為原點(diǎn),,,所在方向分別為,,軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
∵,故,
顯然平面的一個(gè)法向量為,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,得,
設(shè)二面角的大小為,則,
故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一個(gè)“兩鼠穿墻題”,其內(nèi)容為:“今有垣厚五尺,兩鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.問(wèn)何日相逢?各穿幾何?”如圖的程序框圖源于這個(gè)題目,執(zhí)行該程序框圖,若輸入x=20,則輸出的結(jié)果為( 。
A. 3B. 4C. 5D. 6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足,且是的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,對(duì)任意正數(shù)數(shù), 恒成立,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起,使得平面平面,在折起后形成的三棱錐中,給出下列四個(gè)命題:①;②異面直線與所成的角為;③二面角余弦值為;④三棱錐的體積是.其中正確命題的序號(hào)是___________.(寫出所有正確命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,且對(duì)任意,都有,數(shù)列前n項(xiàng)的和.
(1)若數(shù)列是等比數(shù)列,求的值和;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,求和的關(guān)系式;
(3),當(dāng)時(shí),求證: 是一個(gè)常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A. 命題:“若,則”的逆否命題是“若,則”
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題:“, ”的否定是“, ”
D. 若“”為假命題,則均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ) 設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).
證明:對(duì)任意,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,求三條曲線,,所圍成圖形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),則四面體的體積與四棱錐的體積之比為___________
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