Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x²-3，1），$\overrightarrow$=（x，-y），（其中實數(shù)x和y不同時為零），當|x|＜2時，有$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，當|x|≥2時，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）若對任意x∈（-∞，-2）∪[2，+∞），都有m≥f（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直和向量平行的坐標公式即可求函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最大值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當|x|＜2時，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$可得：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（x²-3）x-y=0-------------------------1’
∴y=x³-3x（|x|＜2且x≠0）---------------------------------------------------3’
當|x|≥2時，由$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$可得：y=-$\frac{x}{{x}^{2}-3}$=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$---------------------------------------5’
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，}&{-2＜x＜2且x≠0}\\{\frac{x}{3-{x}^{2}，}}&{x≥2或x≤-2}\end{array}\right.$-----------------------------------6’
（2）由題意知m≥f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$，當x∈（-∞，-2）∪[2，+∞）恒成立，
∴m≥f（x）_max，-----------------------------------7’
當x∈（-∞，-2）時，f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$＞0，
而當當x∈[2，+∞）時，f（x）＜0
∴f（x）=$\frac{x}{3-{x}^{2}}$的最大值必在（-∞，-2]上取到--------------------------------------8’
當x₁＜x₂≤-2時，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（3+{x}_{1}{x}_{2}）}{（3-{{x}_{1}}^{2}）（3-{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
即函數(shù)f（x）在（-∞，-2]上單調(diào)遞增，-------------------11’
∴f（x）_max=f（-2）=2---------------12’
∴實數(shù)m的取值范圍為[2，+∞）----------------------------------------------------13’

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及向量平行和垂直的坐標公式，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決恒成立問題的基本策略．