Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時，f（x）取得最大值3；當(dāng)x=

7

12

π時，f（x）取得最小值-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[-

π

3

，

π

6

]時，函數(shù)h（x）=2f（x）+1-m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時，f（x）取得最大值3；當(dāng)x=

7

12

π時，f（x）取得最小值-3．所以確定A=3，又由于在一個周期內(nèi)最大值與最小值之間的距離正好是半個周期從而求得ω，進(jìn)一步根據(jù)最值確定φ．
（2）根據(jù)自變量的范圍，確定函數(shù)的零點，即求h（x）=0的根，進(jìn)一步求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜π），在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時，f（x）取得最大值3；
當(dāng)x=

7

12

π時，f（x）取得最小值-3．
∴A=3

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

∴T=π
∵ω=

2π

T

∴ω=2
又∵函數(shù)在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=

π

12

時，f（x）取得最大值3．
∴2×

π

12

+φ=

π

2

+2kπ  （k∈Z）
解得 φ=2kπ+

π

3

  （k∈Z）
又∵|φ|＜π
∴φ=

π

3

進(jìn)一步求得：f（x）=3sin（2x+

π

3

）
（2）∵在x∈[-

π

3

，

π

6

]時，函數(shù)h（x）=2f（x）+1-m有兩個零點
∴h（x）=0有兩個實數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個交點．
∴sin（2x+

π

3

）=

m-1

6

在[-

π

3

，

π

6

]上有兩個根
∵x∈[-

π

3

，

π

6

]
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴

m-1

6

∈[

3

2

，1）
即m∈[3

3

+1，7）．

點評：本題重點考查知識點：三角函數(shù)的解析式的求法，以及在某一定義域下利用函數(shù)的零點求參數(shù)的取值范圍問題．是很好的高考題型．