Question

13．已知二次函數(shù)y=x²-（a+2）x+a．
（1）求證：不論a為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）試求：當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于2；
（3）函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于x=2的兩側(cè)，a的取值如何？

Answer 1

分析 （1）證明：△=（a+2）²-4a=a²+4＞0即可；
（2）利用|x₁-x₂|=$\sqrt{△}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=2，可求出a的值；
（3）由題意，f（2）＜0，即可求出a的值．

解答 （1）證明：△=（a+2）²-4a=a²+4＞0，
∴不論a為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）解：設(shè)二次函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則|x₁-x₂|=$\sqrt{△}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$=2，
∴a=0，即a=0時(shí)，函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離等于2；
（2）解：由題意，f（2）＜0，即4-2（a+2）+2＜0，∴a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)．