Question

14．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：
（1）平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）BC₁∥平面CA₁D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BC₁∥平面CA₁D．

解答 證明：（1）由AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，得AB⊥CD，
由AA₁⊥面ABC，得AA₁⊥CD，
∵AA₁∩AB=A
∴CD⊥面AA₁B₁B，
∵CD?平面CA₁D，
∴平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B．
（2）連接AC₁交A₁C于點(diǎn)E，連接DE
因?yàn)樗倪呅蜛A₁C₁C是矩形，知E為AC₁的中點(diǎn)
又D是AB的中點(diǎn)，得到DE∥BC₁，
從而可得BC₁∥面CA₁D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面平行，平面和平面垂直的判定，根據(jù)相應(yīng)的定理是解決本題的關(guān)鍵．