Question

17．如圖，過⊙O外一點E作⊙O的兩條切線EA、EB，其中A、B為切點，BC為⊙O的一條直徑，連CA并延長交BE的延長線于D點．
（Ⅰ）證明：BE=DE；
（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出輔助線，根據(jù)AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O為BC的中點，得E為BD的中點，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)AC=t（t＞0），由射影定理，根據(jù)三角形中的知識，即可求得比值．

解答 證明：（Ⅰ）連接AB、OE，
∵EA、EB為圓O的切線，
∴OE垂直平分AB，
又∵BC為圓O的直徑，
∴AB⊥CD，∴OE∥CD，
又O為BC的中點，
故E為BD的中點，
∴BE=ED      …（5分）
解：（Ⅱ）設(shè)AC=t（t＞0），則AD=3t，CD=4t，
在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD²=DA•DC=12t²，
∴BD=2$\sqrt{3}$t，
在Rt△ABD中，AE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$t．
∴AE：AC=$\sqrt{3}$．…（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查射影定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．