Question

4．已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過點P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=-11，求直線AB的方程；
（2）求△ABF面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）不妨設(shè)點A在x軸上方，分直線的斜率存在和不存在兩種情況，分別直線和拋物線的位置關(guān)系即可求出，
（2）分別求出直線的斜率存在和不存在，兩種情況的三角形的面積，比較即可得到答案．

解答 解：（1）不妨設(shè)點A在x軸上方，
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線方程為x=2，
此時將x=2代入拋物線C：y²=4x中，得y²=8，解得$y=±2\sqrt{2}$，
所以點A，B的坐標(biāo)分別為$（{2，2\sqrt{2}}），（{2，-2\sqrt{2}}）$，
又焦點F的坐標(biāo)為（1，0），則$\overrightarrow{FA}=（{1，2\sqrt{2}}），\overrightarrow{FB}=（{1，-2\sqrt{2}}）$，
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{1，2\sqrt{2}}）•（{1，-2\sqrt{2}}）=1-8=-7$，不滿足$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=-11$，故舍去；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)斜率為k顯然k≠0，故直線AB方程為y=k（x-2）．
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-2}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，且△=32k²+16＞0，
則由韋達(dá)定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=4$，
所以${y_1}{y_2}=（{2\sqrt{x_1}}）（{-2\sqrt{x_2}}）$=$-4\sqrt{{x_1}{x_2}}=-8$，
又焦點F的坐標(biāo)為（1，0），
所以$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{{x_1}+{x_2}}）+1+{y_1}{y_2}=（{{x_1}-1，{y_1}}）•（{{x_1}-1，{x_2}}）={x_1}+{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）+1+{y_1}+{y_2}$=$4-\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+1+（{-8}）=-\frac{4}{k^2}-7$．
由題意，$-\frac{4}{k^2}-7=-11$，解得k=±1，
所以直線AB方程為y=x-2或y=-x+2，即x-y-2=0或x+y-2=0．
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由（1）得，點A，B的坐標(biāo)分別為$（{2，2\sqrt{2}}），（{2，-2\sqrt{2}}）$，
所以△ABF的面積為$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{2\sqrt{2}-（{-2\sqrt{2}}）}|=2\sqrt{2}$；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)斜率為k顯然k≠0，由（1）得，${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=4$，
所以△ABF的面積為$S=\frac{1}{2}×|{PF}|×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{y_1^2+y_2^2-2{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4{x_1}+4{x_2}-2×2\sqrt{x_1}×（{-2\sqrt{x_2}}）}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{4（{{x_1}+{x_2}}）+8\sqrt{{x_1}{x_2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{4•\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}+8\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{k^2}+32}＞\frac{1}{2}\sqrt{32}=2\sqrt{2}$．
綜上所述，△ABF面積的最小值為$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．