Question

9．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，其公差d≠0，a₅=6，若無(wú)窮數(shù)列a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$，a${\;}_{{n}_{2}}$，…，a${\;}_{{n}_{t}}$，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)中是該等比數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)為7．

Answer 1

分析 先由a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$成等比數(shù)列，求得d與n₁的關(guān)系，再由d與n₁都是整數(shù)求解，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a₃=a₅-2d=6-2d，a_n1=a₅+（n₁-5）d=6+（n₁-5）d．
∵a₃，a₅，a${\;}_{{n}_{1}}$成等比數(shù)列，
∴a₅²=a₃a${\;}_{{n}_{1}}$，
化簡(jiǎn)即（6n₁-42）d-2（n₁-5）d²=0，
∵d≠0所以有 3n₁-21=（n₁-5）d   （1）
顯然d=3不能使等式成立，
∴由（1）式可以解出：n₁=（21-5d）÷（3-d），
因?yàn)閚₁＞5，n₁為整數(shù)，因此n₁≥6，即（21-5d）÷（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，則 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，與d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
當(dāng)d=2時(shí)n₁=11，滿足條件．
∴a_n=a₅+（n-5）×2=2n-4，
∴等比數(shù)列的公比為3，
∴等比數(shù)列的通項(xiàng)為b_n=2•3^n-1，
∵a₂₀₁₅=4026，
∴2•3^n-1≤4026，
∴n≤7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)用以及數(shù)域的應(yīng)用．