Question

19．銳角三角形ABC中，$S=\frac{{c}^{2}-（{a}^{2}-^{2}）}{4k}$，c既不為最大邊也不為最小邊，則k的取值范圍是（$\sqrt{2}$-1，1）．

Answer 1

分析 先根據(jù)余弦定理和面積公式表示出$S=\frac{{{c^2}-{{（a-b）}^2}}}{4k}$，得到關(guān)于C的關(guān)系式，再由萬能公式和角C的范圍確定答案．

解答 解：∵c既不為最大邊也不為最小邊，
∴C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，
∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴$S=\frac{{{c^2}-{{（a-b）}^2}}}{4k}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}-^{2}+2ab}{4k}$=$\frac{2ab-2abcosC}{4k}$=$\frac{ab（1-cosC）}{2k}$，
又S=$\frac{1}{2}$absinC，
∴sinC=$\frac{1-cosC}{k}$，
則k=$\frac{1-cosC}{sinC}$=$\frac{1-（1-2si{n}^{2}\frac{C}{2}）}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{C}{2}}{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}$=tan$\frac{C}{2}$，
∵銳角三角形ABC中C既不是△ABC的最大角也不是△ABC的最小角，
∴45°＜C＜90°，$\frac{45°}{2}$＜$\frac{C}{2}$＜45°
∴$\sqrt{2}$-1＜tan$\frac{C}{2}$＜1，
∴$\sqrt{2}$-1＜k＜1
故答案為：（$\sqrt{2}$-1，1）

點(diǎn)評 本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，利用正弦定理和余弦定理結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式是解決本題的關(guān)鍵．