Question

若關(guān)于x的方程x²+x•cosαcosβ+cosγ-1=0的兩個根x₁，x₂，滿足x1+x2=

x1x2

2

，則以α，β，γ為內(nèi)角的三角形的形狀是

 

．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=-cosαcosβ，x₁x₂=cosγ-1，結(jié)合x1+x2=

x1x2

2

利用三角恒等變換得到cos（α-β）=1，進一步得到α=β，從而判斷三角形的形狀．

解答： 解：由方程x²+x•cosαcosβ+cosγ-1=0的兩個根x₁，x₂，
得x₁+x₂=-cosαcosβ，x₁x₂=cosγ-1，
由x1+x2=

x1x2

2

，得
-cosαcosβ=

cosγ-1

2

，
由α+β+γ=π，
-cosαcosβ=

-cos(α+β)-1

2

，
整理得：cos（α-β）=1．
∵0＜α＜π，0＜β＜π，
∴-π＜α-β＜π，
則α-β=0，α=β．
∴以α，β，γ為內(nèi)角的三角形的形狀是等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．

點評：本題考查了三角形的形狀判斷，考查了兩角和與差的余弦，是基礎(chǔ)題．