Question

已知函數(shù)f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1），在區(qū)間[-2，-1]上值域?yàn)閇-7，

7

16

]，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=a^x，a＞1，由x∈[-2，-1]，可得t∈[a^-2，a^-1]，f（x）=g（t）=-（t+1）²+2，顯然g（t）在[a^-2，a^-1]上是減函數(shù)，再根據(jù)值域?yàn)閇-7，

7

16

]，求得a的值．

解答： 解：令t=a^x，a＞1，由x∈[-2，-1]，可得t∈[a^-2，a^-1]，f（x）=g（t）=1-2t-t²=-（t+1）²+2，
顯然，二次函數(shù)g（t）的圖象的對(duì)稱軸方程為t=-1，在[a^-2，a^-1]上是減函數(shù)，
故當(dāng)t=a^-2時(shí)，g（t）取得最大值為-（a^-2+1）²+2=

7

16

，求得a=2．
 當(dāng)t=a^-1時(shí)，g（t）取得最小值為-（a^-1+1）²+2=-7，求得a=

1

2

（舍去）．
綜上可得，a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．