Question

14．已知點P（2，$\sqrt{3}$），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=\sqrt{3}+t}\\{\;}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以平面直角坐標系坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的極坐標方程；
（2）設曲線與直線l相交于A、B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標方程、直角坐標方程間的互化公式，把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；利用參數(shù)方程、直角坐標方程間的互化公式，把直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再化為極坐標方程．
（2）把直線l的標準的參數(shù)方程代入曲線返程，利用韋達定理以及參數(shù)的幾何意義，求得|PA|•|PB|的值．

解答 解：（1）由$ρ=4cos（θ-\frac{π}{3}）$得，$ρ=4cosθcos\frac{π}{3}+4sinθsin\frac{π}{3}=2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，即 ρ²=2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
所以曲線C的直角坐標方程為${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$，即${（x-1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$∴直線l的普通方程為$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∴直線l的極坐標方程為$ρcosθ-\sqrt{3}ρsinθ+1=0$．
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}t\\ y=\sqrt{3}+t\end{array}\right.$化為標準參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，代入曲線C：${x^2}+{y^2}-2x-2\sqrt{3}y=0$得，t²+$\sqrt{3}$t-3=0，
設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁•t₂=-3，∴|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=3．

點評 本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程、直角坐標方程間的互化，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．