Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)．
（1）證明：PE⊥BC；
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直線(xiàn)PA與PEH平面所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明PE⊥BC．
（2）求出平面PEH的法向量和

PA

=(1，0，-1)，利用向量法能求出直線(xiàn)PA與PEH平面所成角的正弦值．

解答： （1）證明：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)HA=1，
則A（1，0，0），B（0，1，0），
設(shè)C（m，0，0），P（0，0，n），（m＜0，n＞0），
則D（0，m，0），E（

1

2

，

m

2

，0），
∴

PE

=（

1

2

，

m

2

，-n），

BC

=（m，-1，0），
∵

PE

•

BC

=

m

2

-

m

2

+0=0，
∴PE⊥BC．
（2）解：∵∠APB=∠ADB=60°，∴由已知條件得m=-

3

3

，n=1，
∴C（-

3

3

，0，0），D（0，-

3

3

，0），E（

1

2

，-

3

6

，0），P（0，0，1），
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面PEH的法向量，
則

n • HE = 1 2 x- 3 6 y=0 n • HP =z=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
∵

PA

=(1，0，-1)，
∴|cos＜

PA

，

n

＞|=|

1

2 •2

|=

2

4

．
∴直線(xiàn)PA與PEH平面所成角的正弦值為

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．