Question

已知關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率．記分別以m，n為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)A（m，n）表示的平面區(qū)域D．若函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率，可得方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞），從而可確定平面區(qū)域?yàn)镈，進(jìn)而利用函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+mx+m+n
∵關(guān)于x的方程x²+mx+m+n=0的兩根分別為橢圓和雙曲線的離心率
∴方程x²+mx+m+n=0的兩根，一根屬于（0，1），另一根屬于（1，+∞）
∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴

m+n＞0 1+2m+n＜0

∵直線m+n=0，1+2m+n=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）
∴要使函數(shù)y=log_a（x+4）（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則必須滿足1＜log_a（-1+4）
∴l(xiāng)og_a3＞1=log_aa，
∵a＞1
∴1＜a＜3
故答案為：（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題以方程根為載體，考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，確定平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵．